Quantencomputing und Quanteninformation

Das Quantenbit

In heutigen Computern ist die grundlegende Informationseinheit ein Bit, das entweder 0 oder 1 sein kann. Ähnlich ist im Quantencomputing die grundlegende Informationseinheit ein Quantenbit oder Qubit.

Im Gegensatz zu einem klassischen Bit kann ein Qubit Zustände der folgenden Form annehmen

wobei und als Amplituden bezeichnet werden, mit

Im Gegensatz zu einem klassischen Bit, das nur entweder den Wert oder hat, kann sich ein Qubit in einem sogenannten Superpositionszustand dazwischen befinden. Es ist jedoch nicht möglich, diesen Zustand direkt aus einem Qubit auszulesen. Um Informationen über ein Qubit zu erhalten, muss es gemessen werden, wodurch die Superposition zerstört wird. Bei der Messung eines Qubits wird der Zustand mit der Wahrscheinlichkeit beobachtet und der Zustand mit der Wahrscheinlichkeit .

Der Zustand eines Qubits wird als zweidimensionaler Vektor mit komplexen Einträgen aufgefasst. Der sogenannte Zustandsvektor lautet:

Dieser lässt sich als Linearkombination der zweidimensionalen Standardbasisvektoren angeben:

Die Notation oder heißt Dirac- oder **Bra-Ket-**Notation (von ``bracket'', bra: , ket: ). Ist , dann ist , also der komplex konjugierte Zeilenvektor.

Grafische Darstellung eines Qubits

Um ein Qubit grafisch darzustellen, bräuchte man naiv betrachtet vier Dimensionen, da und zwei komplexe Zahlen sind, jeweils mit Real- und Imaginärteil. Nehmen wir jedoch an, dass und reelle Zahlen sind, können wir ein Qubit wie folgt darstellen¹

Wir tragen den Wert von auf der x-Achse und den Wert von auf der y-Achse auf. Da gilt, liegen Qubits immer genau auf dem gepunkteten Kreis.

Für ein Qubit mit komplexen Amplituden, also , können wir es mithilfe der sogenannten Bloch-Kugel dennoch mit nur drei Dimensionen darstellen:

Durch Umformungen können wir die Qubit-Formel aus dem vorherigen Abschnitt in die folgende Form bringen

wobei und .

und genügen, um eine Rotation auf der Bloch-Kugel vollständig zu beschreiben, wobei auch als (relative) Phase eines Qubits bezeichnet wird. Die möglichen Zustände, die ein Qubit annehmen kann, werden genau durch die Oberfläche der Bloch-Kugel dargestellt²

Fußnoten

Footnotes

1. Aaronson, Scott. "Introduction to quantum information science II lecture notes." (2022). Figure 3.1 ↩

2. Zur Veranschaulichung können Sie sich Folgendes ansehen:https://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/simulations_html5/sims/blochsphere/blochsphere.html. ↩