Einfache Quantenalgorithmen

Die in den vorherigen Kapiteln vorgestellten Gatter können nun verwendet werden, um einfache Algorithmen auf Schaltkreisen zu erstellen. Dazu müssen wir zunächst die Anwendung mehrerer Gatter auf ein Qubit untersuchen, die wie folgt dargestellt wird:

In der QASM-Sprache können wir drei verschiedene u3-Gatter definieren und erhalten damit die drei verschiedenen Gatter

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
u(pi,pi,pi) q[0];
u(pi/2,pi/2,pi/2) q[0];
u(pi/4,pi/4,pi/4) q[0];

Die Zustände der Zwischenschritte und werden analog zur Anwendung eines einzelnen Gatters berechnet:

Bitte beachten Sie, dass die Reihenfolge der Gatter im Allgemeinen nicht vertauscht werden kann.

Zufallszahlengenerator

Die Zustände und die zugehörige Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Endzustand zu erhalten, lassen sich berechnen. Gewissheit erlangt man jedoch nur durch Messen, was wiederum die mögliche Superposition des Qubits oder der Qubits zerstört. Im Verlauf dieser Vorlesung werden wir oft sehen, dass sich dieser Effekt der Messung auch gezielt als Werkzeug für Aufgaben nutzen lässt.

Ein einfaches Beispiel ist die Kombination aus einem Hadamard-Gatter und einer Messung, die einen echten Zufallszahlengenerator erzeugt:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
creg c[1];
h q[0];
measure q[0] -> c[0];

Der Zustand des Eingangsqubits kann entweder oder sein, da in beiden Fällen das Hadamard-Gatter das Qubit in einen Zustand versetzt, in dem und als Messergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Verschränkung

Ein weiterer Schaltkreis, der auf den ersten Blick sehr einfach aussieht, ist die Verschränkung zweier Qubits.

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[2];
h q[0];
cx q[0], q[1];

Ist , sind die Zustände in den Zwischenschritten wie folgt:

Zum Zeitschritt ist der Messwert jedes Qubits nicht festgelegt, und es ist gleich wahrscheinlich, oder zu erhalten. Dennoch zeigt der Zustand auch, dass die Messergebnisse beider Qubits in jedem Fall gleich sein werden. Messen wir also für , ist auch das Messergebnis von festgelegt (nämlich ). Das bedeutet auch, dass selbst wenn wir die beiden Qubits räumlich trennen und dann unabhängig voneinander messen, die Ergebnisse weiterhin korrelieren.

Dieser Zustand ist nach dem irischen Physiker John Bell benannt. Insgesamt gibt es vier solcher Zustände, abhängig vom Eingangsregister :

Die vier Zustände unterscheiden sich vor allem darin, dass bei und auf beiden Qubits dasselbe Ergebnis gemessen wird, während und entgegengesetzte Messergebnisse liefern. Die beiden Zustände mit positiver Amplitude und werden auch als EPR-Paar bezeichnet, benannt nach einer Veröffentlichung von Einstein, Podolski und Rosen¹. Wir können die Bell-Zustände auch über die Matrixdarstellung berechnen, z. B. :

An diesem Endzustand erkennen wir, dass er sich nicht als Tensorprodukt einzelner Qubits schreiben lässt. Genau so ist Verschränkung definiert²:

Um einen verschränkten Zustand zu erzeugen, benötigen wir eine unitäre Transformation, die sich selbst nicht als Tensorprodukt auf einzelnen Qubits darstellen lässt. Neben der Superposition ist die Verschränkung eines der mächtigsten Werkzeuge des Quantencomputings. Physikalisch sind diese Zustände schwer zu erzeugen und daher teuer, was insbesondere gilt, wenn sie über große Entfernungen erzeugt werden sollen.