Quantencomputing und Quanteninformation

Multi-Qubit-Systeme

Um Schaltkreise mit mehreren Qubits zu erstellen, müssen wir zunächst den mathematischen Zustand von mehr als einem Qubit beschreiben. Wie bei der Darstellung klassischer Bits sollte es möglich sein, klassische Zustände mit Qubits darzustellen. Diese Kombination wird (wie in der klassischen Informatik) Register oder Quantenregister genannt. Theoretisch können Quantenregister eine unendliche Anzahl von Zuständen darstellen, aber bei einer Messung in einer bestimmten Basis gibt es nur mögliche Messergebnisse.

Quantenregister

Die Kombination zweier Qubits zu einem Register ist das Tensorprodukt der Zustandsvektoren, :

Hier gilt für die Amplituden und weiterhin:

Um diese Notation zu vereinfachen, werden die Amplituden und zu zusammengefasst:

Als Notationskonvention kann das Tensorprodukt der Qubits zu zusammengefasst werden:

Wird ein Quantenregister gemessen, erhält man den Zustand mit der Wahrscheinlichkeit .

Für die formale Definition von Registern mit Qubits ist es sinnvoll, von der binären zur dezimalen Notation zu wechseln:

Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird im Folgenden die binäre Darstellung bevorzugt. Die Basiszustände eines 2-Qubit-Registers sind also:

Man erkennt, dass in der Vektordarstellung immer genau eine 1 an der Position (beginnend bei 0) steht, die der Binärzahl entspricht.

Einfache Multi-Qubit-Gatter

Um ein Quantenregister in einen neuen Zustand zu überführen, können Gatter auf mehrere Qubits angewendet werden. Im folgenden Schaltkreis wird der Zustand [^1] in überführt, mithilfe der Multi-Qubit-Operation :

Zum Beispiel können wir die im vorherigen Abschnitt vorgestellten Einzel-Qubit-U3-Gatter als QASM-Code kombinieren:

Probieren Sie es aus und ändern Sie die Winkel, um den Unterschied im Ergebnis zu sehen

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[2];
u(pi,pi/2,pi/4) q[0];
u(pi,pi/2,pi/8) q[1];

Das Tensorprodukt der beiden 1-Qubit-Matrizen ergibt dann das 2-Qubit-Gatter, d. h.:

Für das Gatter ergibt sich beispielsweise:

Es ist auch möglich, Multi-Qubit-Gatter nur auf Teile eines Registers anzuwenden:

Wird auf Qubit keine Operation ausgeführt, entspricht dies der Multiplikation mit der Identitätsmatrix (oder ). Die Identitätsmatrix lässt sich auch als Gatter darstellen:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
id q[0];

Das Ergebnis des Tensorprodukts ist:

Am Beispiel des Gatters funktioniert das wie folgt:

Und die zugehörige Matrix wird auf die gleiche Weise berechnet:

Wendet man diese Matrix auf einen Zustandsvektor an (z. B. ), erhält man das gewünschte Ergebnis:

In der QASM-Sprache sieht das wie folgt aus:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[3];
x q[1];
x q[2];

Kontrollierte Multi-Qubit-Gatter

Es gibt spezielle Multi-Qubit-Gatter, die mehrere Qubits als Eingabe benötigen und sich nicht als Tensorprodukt einzelner Gatter darstellen lassen. Dadurch kann der Zustand eines Qubits den Zustand eines anderen beeinflussen. Ein Beispiel dafür ist das Controlled-NOT Gatter oder kurz CNOT Gatter:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[2];
cx q[0],q[1];

Das sogenannte Kontroll-Qubit steuert die Anwendung des X-Gatters auf das Ziel-Qubit .

Befindet sich das Kontroll-Qubit in einem Basiszustand , wird ein X-Gatter nur dann auf das Ziel-Qubit angewendet, wenn das Kontroll-Qubit ist. Der Zustand des Kontroll-Qubits bleibt unverändert. Bei einem Kontroll-Qubit in Superposition sind nur die Amplituden der Basiszustände betroffen, in denen das Kontroll-Qubit ist. Die Matrix des Gatters lautet:

Wenden wir diese Matrix zum Beispiel auf den Zustandsvektor an, erhalten wir das Ergebnis:

Das Prinzip der Gattersteuerung ist nicht auf das X-Gatter beschränkt, es lässt sich mit allen anderen Gattern kombinieren, z. B.:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[2];
cy q[0],q[1];
cz q[0],q[1];
ch q[0],q[1];
cu(pi,pi/2,pi/4,pi/8) q[0],q[1];

Allgemein sieht die Matrix eines kontrollierten Gatters auf einem Zustand mit als Kontroll-Qubit und als Ziel-Qubit wie folgt aus:

Analog wird in der Bra-Ket-Notation ein kontrolliertes Gatter definiert als:

Das Prinzip kontrollierter Gatter ist nicht auf zwei Qubits beschränkt, sondern kann auch mit mehr Qubits verwendet werden, z. B. in Form des sogenannten kontrollierten CNOT oder CCNOT Gatters, das auch als Toffoli-Gatter bekannt ist, benannt nach seinem Erfinder.

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[3];
ccx q[0],q[1],q[2];

Das NOT-Gatter wird nur dann auf das Ziel-Qubit angewendet, wenn beide Kontroll-Qubits sind. Wie beim CNOT bleibt der Zustand der beiden Kontroll-Qubits unverändert. Für das CCNOT-Gatter erhalten wir die Matrix

Analog können wir in der Bra-Ket-Notation mehrfach kontrollierte Gatter definieren als