Quantencomputing und Quanteninformation

Quantengatter

Ähnlich wie in der klassischen Informatik können wir Operationen auf Qubits mit Gattern beschreiben. Zu den wichtigsten gehören die drei sogenannten Pauli-Gatter (auch bekannt als X-, Y- und Z-Gatter) und das Hadamard-Gatter. Mathematisch wird der Zustandsübergang mit einer unitären Matrix beschrieben, z. B.:

Das gilt für einfache Gatter auf einem einzelnen Qubit ebenso wie in komplexeren Systemen mit mehreren Qubits.

Die Anwendung eines Gatters auf ein Qubit wird beschrieben mit

Um den neuen Zustand zu berechnen, wird die zum Gatter gehörende Matrix von links mit dem Anfangszustand des Qubits multipliziert:

Geometrisch lässt sich die Anwendung eines Gatters auf ein einzelnes Qubit als Rotation des Zustandsvektors um eine Achse der Bloch-Kugel auffassen.

Pauli-Gatter

X-Gatter

Das X-Gatter oder NOT-Gatter verhält sich ähnlich wie ein NOT-Gatter auf einem klassischen Bit. Es beschreibt eine Rotation um den Winkel um die x-Achse der Bloch-Kugel. Im Schaltkreis wird es wie folgt dargestellt:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
x q[0];

Die Darstellung als unitäre Matrix ist

Angewendet auf und ergibt sich somit:

In Dirac-Notation schreiben wir:

Wir können diese Matrix auch herleiten, indem wir die Ein- und Ausgaben in Bra-Ket-Notation () wie im vorherigen Abschnitt in Beziehung setzen. Dazu summieren wir die Matrizen aller möglichen Ausgaben für die Basisvektoren:

Wir können diese Matrix auch herleiten, indem wir die Ein- und Ausgaben in Bra-Ket-Notation () wie im vorherigen Abschnitt in Beziehung setzen. Dazu summieren wir die Matrizen aller möglichen Ausgaben für die Basisvektoren:

Y-Gatter

Auf der Bloch-Kugel beschreibt das Y-Gatter die Rotation um den Winkel um die y-Achse.

Im Schaltkreis wird es wie folgt dargestellt:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
y q[0];

Die Darstellung als unitäre Matrix ist: und ergibt sich:

Angewendet auf und ergibt sich:

In Dirac-Notation schreiben wir:

Z-Gatter

Auf der Bloch-Kugel beschreibt das Z-Gatter die Rotation um den Winkel um die z-Achse.

Im Schaltkreis wird es wie folgt dargestellt:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
z q[0];

Die Darstellung als unitäre Matrix ist:

Angewendet auf und ergibt sich

In Dirac-Notation schreiben wir:

Eigenschaften der Pauli-Gatter

Zusammen mit der Identitätsmatrix bilden die Pauli-Gatter eine Basis des 4-dimensionalen komplexen Vektorraums aller komplexen -Matrizen. Das bedeutet, dass sich jede komplexe -Matrix als Linearkombination dieser vier Matrizen darstellen lässt. Außerdem sind die drei Pauli-Gatter selbstinvers, d. h.:

Hadamard-Gatter

Das Hadamard-Gatter, benannt nach dem französischen Mathematiker Jacques Hadamard, spielt eine wichtige Rolle im Quantencomputing, weil es ein Qubit aus einem "klassischen" Basiszustand in einen Superpositionszustand versetzen kann. Eine gleichgewichtete Superposition erhält man zum Beispiel, indem man das Hadamard-Gatter auf den Zustand anwendet, denn dann sind die Amplituden von und gleich. Eine Messung würde das Qubit mit jeweils 50 % Wahrscheinlichkeit im Zustand oder ergeben. Auf der Bloch-Kugel beschreibt das Gatter eine Rotation um um die z-Achse, gefolgt von einer Rotation um um die y-Achse.

Im Schaltkreis wird es wie folgt dargestellt: und ergibt sich

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
h q[0];

Die unitäre Matrix ist gegeben als:

Angewendet auf und ergibt sich

In Dirac-Notation schreiben wir:

Beliebige Rotationsgatter

Ein Qubit kann auch um einen beliebigen Winkel und eine beliebige Achse rotiert werden, um alle möglichen Zustände auf der Bloch-Oberfläche zu "erreichen". In der Literatur gibt es verschiedene sogenannte universelle Gattersätze, die dafür ausreichen. Wir verwenden die Rotationsgatter , und , definiert wie folgt:

oder wird mit Wahrscheinlichkeiten erhalten, die vom Zustand des Qubits abhängen. Dieser Vorgang lässt sich auch mit einem Gatter darstellen:

Daraus ergeben sich die folgenden Rotationsmatrizen:

In der Schaltkreissprache sehen diese Gatter wie folgt aus:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
rx(pi/2) q[0];
ry(pi/2) q[0];
rz(pi/2) q[0];

Messung

Bei der Messung eines Qubits wird das jeweilige (binäre) Ergebnis oder mit Wahrscheinlichkeiten erhalten, die vom Zustand des Qubits abhängen. Dieser Vorgang lässt sich auch mit einem Gatter darstellen:

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[1];
creg c[1];
measure q[0] -> c[0];

Es gibt keine Matrixdarstellung, denn das Messen ist keine Operation wie jede andere: Es liest ein Bit klassischer Information aus einem Qubit aus. Außerdem sind Messungen im Gegensatz zu den vorherigen Gattern nicht reversibel. In Schaltkreisen zeichnen wir eine Doppellinie, um klassische Bits von Qubits zu unterscheiden.

Mehr über Messungen erfahren Sie unter Qubit-Messungen