Qubits messen

Die Bedeutung der Messung für Qubits

Informationen über ein Qubit in einem unbekannten Zustand erhalten wir nur, indem wir es messen. Bei einer Messung kollabiert das Qubit in genau einen von zwei Werten. Der ursprüngliche Zustand lässt sich nicht mehr rekonstruieren und wir erfahren nur einen kleinen Teil dessen, was es über den Zustand zu wissen gibt. Ist \ket{\phi_0} = \alpha \ket{0} + \beta \ket{1} ein unbekannter Zustand und das Messergebnis ist \ket{0}, so lässt sich über \ket{\phi_0} mit Sicherheit nur sagen, dass \alpha \neq 0 gegolten haben muss. Weitere Informationen über \ket{\phi_0} lassen sich nicht mehr gewinnen, denn das Qubit hat durch die Messung seine Superposition unwiederbringlich verloren.

Messung einzelner Bits in einem Register

Wir haben bereits gesehen, dass wir auch einzelne Bits in einem Register messen können, da dies ebenfalls Auswirkungen auf das Messergebnis der anderen Qubits hat.
Wie verändert sich der Zustand eines Registers durch die Messung eines einzelnen Qubits? Wir wissen, dass sich ein Register aus zwei Qubits \ket{x} und \ket{y} im Zustand

\ket{xy} = \alpha_{00} \ket{00}+\alpha_{01} \ket{01}+\alpha_{10} \ket{10}\alpha_{11} \ket{11} für beliebige \alpha_{00}, \alpha_{01}, \alpha_{10} und \alpha_{11} befindet. Die Wahrscheinlichkeit, \ket{x} = \ket{0} zu messen, beträgt p(\ket{x} = \ket{0}) = |\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2

Messen wir nun \ket{x} = \ket{0}, so befindet sich das Register im Zustand

\ket{0y} = \beta_{00} \ket{00}+\beta_{01} \ket{01} Es gilt: \beta_{0i} = \frac{\alpha_{0i}}{\sqrt{|\alpha_{00}|^2+|\alpha_{01}|^2}}

Das bedeutet: Die Amplituden von \ket{00} und \ket{01} bleiben proportional erhalten, werden aber so normiert, dass sich die Messwahrscheinlichkeiten wieder zu 1 addieren.

Messungen in anderen Basen als der Standardbasis

Bisher wurden nur \ket{0} und \ket{1} als mögliche Messergebnisse vorgestellt. Diese Sichtweise ignoriert jedoch, dass Qubits stets bezüglich einer bestimmten Basis gemessen werden. Bisher war dies die sogenannte Standardbasis \{\ket{0},\ket{1}\}.

Aus der Schule erinnert man sich vielleicht, dass ein zweidimensionaler Vektorraum verschiedene Basen haben kann. So ist nicht nur \left\{\begin{psmallmatrix}1\\0\end{psmallmatrix}, \begin{psmallmatrix}0\\1\end{psmallmatrix} \right\} eine Basis von \mathbb{R}^2, sondern zum Beispiel auch die Menge B= \left\{\begin{psmallmatrix}-\frac{4}{5}\\\frac{3}{5}\end{psmallmatrix},\begin{psmallmatrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{psmallmatrix} \right\}. Sowohl \begin{psmallmatrix}0\\1\end{psmallmatrix} als auch \begin{psmallmatrix}1\\0\end{psmallmatrix} lassen sich als Linearkombination dieser Vektoren darstellen. Man findet sie wie folgt (Beispiel: \begin{psmallmatrix}1\\0\end{psmallmatrix}):

\begin{aligned}
  \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} & = \lambda \begin{pmatrix}-\frac{4}{5}\\\frac{3}{5}\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{pmatrix}
\end{aligned}

Gesucht sind also \lambda, \mu \in \mathbb{R}.

Daraus ergeben sich zwei Gleichungen:

I) 1 = \frac{-4}{5} \lambda + \frac{3}{5} \mu II) 0 = \frac{3}{5} \lambda + \frac{4}{5} \mu

\begin{aligned}
II) \Rightarrow \lambda &= \frac{-4}{3} \mu \\
I) \Rightarrow 5 &= -4 \lambda + 3 \mu = -4 \cdot \frac{-4}{3} \mu + 3 \mu = \frac{16}{3} \mu + 3 \mu = \frac{25}{3} \mu \\
 \mu &= 5 \cdot \frac{3}{25} = \frac{3}{5} \\
 \Rightarrow \lambda &= -\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = - \frac{4}{5} \\
 \Rightarrow  \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} &= -\frac{4}{5} \cdot \begin{pmatrix}-\frac{4}{5}\\\frac{3}{5}\end{pmatrix}+\frac{3}{5} \cdot \begin{pmatrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{pmatrix} \quad and $ \mu, \lambda \in \mathbb{R} $.
\end{aligned}

Anstatt ein Qubit in der Standardbasis (also der z-Achse der Bloch-Kugel) als \ket{\psi} = \alpha \ket{0} + \beta \ket{1}, darzustellen, können wir auch \{\ket{+}, \ket{-}\} (die x-Achse) oder \{\ket{i}, \ket{-i}\} (die y-Achse) als Basis des zweidimensionalen Vektorraums wählen: \ket{+} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1}) \text{ and } \ket{-} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}-\ket{1}) \ket{i} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+i\ket{1}) \text{ and } \ket{-i} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}-i\ket{1})

Die Basen sind jeweils normierte Eigenvektoren der entsprechenden Pauli-Matrizen mit den Eigenwerten +1 und -1. Das gilt auch für die Standard-Z-Basis und die Pauli-Z-Matrix. Der Eigenvektor zum Eigenwert +1 ist \ket{0} und für -1 ist es \ket{1}: Z\ket{0} = +1\cdot\ket{0}, Z\ket{1} = -1\cdot\ket{1}

In den anderen Basen hat der Zustand \ket{\psi} dann die Darstellung \ket{\psi} = \hat{\alpha} \ket{+} + \hat{\beta} \ket{-} = \tilde{\alpha}\ket{i} + \tilde{\beta}\ket{-i} Mit \alpha \ket{0} + \beta \ket{1} = \hat{\alpha} \ket{+} + \hat{\beta} \ket{-} = \tilde{\alpha}\ket{i} + \tilde{\beta}\ket{-i}

können wir \hat{\alpha}, \hat{\beta} und \tilde{\alpha}, \tilde{\beta} berechnen. Das Ergebnis ist:

\hat{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\alpha + \beta);\ \hat{\beta}= \frac{1}{\sqrt{2}} (\alpha - \beta) \tilde{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\alpha -i\beta);\ \tilde{\beta}= \frac{1}{\sqrt{2}} (\alpha + i\beta)

Der Zustand \ket{+} wird mit Wahrscheinlichkeit |\hat{\alpha}|^2 gemessen und der Zustand \ket{-} mit |\hat{\beta}|^2, ebenso der Zustand \ket{i} mit Wahrscheinlichkeit |\tilde{\alpha}|^2 und der Zustand \ket{-i} mit |\tilde{\beta}|^2. Auch hier gilt: |\hat{\alpha}|^2 + |\hat{\beta}|^2 = 1,\text{ or } |\tilde{\alpha}|^2 + |\tilde{\beta}|^2 = 1

Mathematisch entspricht eine Messung bezüglich einer Basis einer Projektion des Vektors in die Unterräume der Basis. In der Abbildung sind die Unterräume die Achsen des Koordinatensystems. Das Messergebnis \ket{0} bedeutet dann, dass der Vektor in den Unterraum \ket{0} projiziert wurde. Die Wahrscheinlichkeit dafür entspricht der Länge des projizierten Vektors.
Damit sich die Messergebnisse gegenseitig ausschließen, braucht es für Quantensysteme Basen, in denen zwei Basisvektoren b_i und b_j zueinander orthogonal sind, also: \braket{b_i}{b_j} = 0. Andernfalls könnte die Messung des einen Basisvektors mit Wahrscheinlichkeit >0 den anderen Basisvektor ergeben, was keinen Sinn ergäbe. Als Basis kommen nur gültige Qubit-Vektoren infrage und da ihre Länge stets 1 beträgt, ist jede Basis für ein Quantensystem eine Orthonormalbasis.

Das Messergebnis

Folglich kann sich ein Qubit nicht nur bezüglich \ket{0} und \ket{1} in Superposition befinden, sondern auch bezüglich einer anderen Basis. Beim Messen wird die Superposition bezüglich der Messbasis zerstört und einer der zugehörigen Basiszustände angenommen. Das bedeutet also:

1. Bei der Messung eines Qubits erhält man ein Bit klassischer Information.

2. Das Qubit nimmt einen Folgezustand an, der eine Superposition bezüglich einer anderen Basis sein kann.

3. Ist der ursprüngliche Zustand bekannt, verrät die Messung, in welchem Folgezustand sich das Qubit befindet. Das lässt sich für weitere Berechnungen nutzen.

Observablen

Ein allgemeineres Bild der Messung beschreibt die projektive Messung bezüglich einer Observablen. Observablen sind hermitesche Operatoren, die die quantenphysikalischen Eigenschaften eines Systems beschreiben. Bei einer projektiven Messung ist die Observable O definiert als O = \sum_m mP_m\text{,} wobei P_m eine Projektion auf den Eigenwertbereich der Observablen O ist. Die Messung liefert einen Eigenwert m der Observablen und überführt das System in den zugehörigen Eigenvektor \ket{e_m}. Die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert m für einen Zustand \ket{\psi} zu messen, beträgt p(m)=\bra{\psi}P_m\ket{\psi} Typische Observablen sind die Pauli-Matrizen X,Y,Z mit möglichen Eigenvektoren (\{\ket{+}, \ket{-}\}, \{\ket{i}, \ket{-i}\}, \{\ket{0},\ket{1}\}) und zugehörigen Eigenwerten \{+1, -1\}.
Zum Beispiel lässt sich die Z-Matrix wie folgt aus Projektionen zusammensetzen:

\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = +1\cdot \ket{0}\bra{0} + (-1)\cdot \ket{1}\bra{1} 

Wollen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, \ket{+} für den Zustand \ket{0} zu messen, ergibt sich

\bra{+}(\ket{0}\bra{0})\ket{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}

Mit der Observablen können wir auch den Erwartungswert der Messung eines Zustands \ket{\psi} berechnen: \bra{\psi}O\ket{\psi}

Wichtig: Der Erwartungswert berechnet sich aus den Eigenwerten der Observablen, nicht aus den Messwahrscheinlichkeiten.
Als Beispiel berechnen wir den Erwartungswert der Messung in der Z-Basis für den Zustand \ket{\psi} = \ket{+} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0} + \ket{1}):

\begin{aligned}
	\bra{+}Z\ket{+} &=  \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\
					&= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 0
\end{aligned}

Grundsätzlich können wir jede hermitesche Matrix als Observable betrachten. Wir können zum Beispiel Basen kombinieren und in der ZX-Basis der Bloch-Kugel messen oder nichtunitäre Matrizen verwenden, um Zustände bezüglich einer Kostenfunktion zu bewerten (relevant für hybride Algorithmen später in der Vorlesung).
Messen wir den Zustand \ket{+} zum Beispiel bezüglich O_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, erhalten wir den Erwartungswert:

\begin{aligned}
		\bra{+}O_1\ket{+} &=  \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\
		&= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = 3
	
\end{aligned}